分治算法

• 核心思想

  ​ 分治算法（divide and conquer）的核心思想其实就是四个字，分而治之 ，也就是将原问题划分成 n 个规模较小，并且结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。

  ​ 分治算法是一种处理问题的思想，递归是一种编程技巧。实际上，分治算法一般都比较适合用递归来实现。

• 算法步骤

  • 分治算法的递归实现中，每一层递归都会涉及这样三个操作：

  • 分解：将原问题分解成一系列子问题；
  • 解决：递归地求解各个子问题，若子问题足够小，则直接求解；
  • 合并：将子问题的结果合并成原问题。

  • 分治算法能解决的问题，一般需要满足下面这几个条件：

  • 原问题与分解成的小问题具有相同的模式；
  • ==原问题分解成的子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性，这一点是分治算法跟动态规划的明显区别==，等我们讲到动态规划的时候，会详细对比这两种算法；
  • 具有分解终止条件，也就是说，当问题足够小时，可以直接求解；
  • 可以将子问题合并成原问题，而这个合并操作的复杂度不能太高，否则就起不到减小算法总体复杂度的效果了。

• 分治算法求解逆序对

  如何编程求出一组数据的有序对个数或者逆序对个数呢？

  

  • 求解1——普通双循环

    ​ 最笨的方法是，拿每个数字跟它后面的数字比较，看有几个比它小的。我们把比它小的数字个数记作 k，通过这样的方式，把每个数字都考察一遍之后，然后对每个数字对应的 k 值求和，最后得到的总和就是逆序对个数。不过，这样操作的时间复杂度是 O(n^2)。

  • 求解2——分治+归并

    ​ 我们用分治算法来试试。我们套用分治的思想来求数组 A 的逆序对个数。我们可以将数组分成前后两半 A1 和 A2，分别计算 A1 和 A2 的逆序对个数 K1 和 K2，然后再计算 A1 与 A2 之间的逆序对个数 K3。那数组 A 的逆序对个数就等于 K1+K2+K3。

    ​ K1和K2好计算，怎样计算K3呢？可以借助归并排序，合并数组的思想。在合并的时候计算逆序对

    

• 分治算法处理海量数据

  ==MapReduce 的本质就是分治思想==

  • 问题所在

    ​ 比如，给 10GB 的订单文件按照金额排序这样一个需求，看似是一个简单的排序问题，但是因为数据量大，有 10GB，而我们的机器的内存可能只有 2、3GB 这样子，无法一次性加载到内存，也就无法通过单纯地使用快排、归并等基础算法来解决了。

  • 处理办法

    ​ 要解决这种数据量大到内存装不下的问题，我们就可以利用分治的思想。**我们可以将海量的数据集合根据某种方法，划分为几个小的数据集合，每个小的数据集合单独加载到内存来解决，然后再将小数据集合合并成大数据集合。**实际上，利用这种分治的处理思路，不仅仅能克服内存的限制，还能利用多线程或者多机处理，加快处理的速度。